這是一個極好的問題。
因為從數學、物理，到哲學，很多人都曾經把它們混在一起：
- Poincaré recurrence（龐加萊重現定理）
- Nietzsche 的 eternal recurrence（永恆回歸）
- 宇宙循環論（cyclic cosmology）
其實是三件不同的事情。
一、Poincaré Recurrence Theorem 是什麼？
1900 年左右，
法國數學家
Henri Poincaré
證明了一個非常反直覺的定理。
簡單說：
一個有限、封閉、守恆的動力系統，
如果等待足夠久，
它終將回到任意接近原來狀態的位置。
想像：
有一個完全封閉的盒子，
裡面有：
- 空氣分子
- 能量
- 動量
沒有任何東西進出。
按照統計力學，
分子會越來越亂。
這就是熵增。
但 Poincaré 發現：
如果系統：
- 能量有限
- 狀態空間有限
- 不受外界干擾
那麼：
經過極其漫長的時間，
分子排列會再次接近最初排列。
這稱為：
Poincaré recurrence（龐加萊重現）
二、為什麼這麼驚人？
因為它看起來違反熱力學第二定律。
熱力學說：
熵增加。
秩序消失。
世界走向混亂。
Poincaré 說：
是的。
但是：
熵增只是「幾乎總是如此」。
不是：
「永遠如此」。
換句話說：
熱力學是機率性的。
不是絕對性的。
例如：
你把一滴墨水滴進水中。
它擴散開來。
看起來再也不會回來。
但理論上：
如果等待夠久，
所有分子可能重新聚集。
墨水再次形成原來那滴。
只是時間長到不可思議。
三、重現時間有多長？
巨大到失去物理意義。
例如：
一杯空氣。
Poincaré recurrence time 可能是：
10^{10^{23}}
年以上。
宇宙年齡約：
10^{10}
年。
兩者相比：
宇宙年齡幾乎等於零。
因此：
數學上會發生。
物理上幾乎永遠看不到。
四、這是否意味著 Eternal Recurrence？
不一定。
這裡必須小心。
Nietzsche 的
Friedrich Nietzsche
永恆回歸說：
你現在的生命，
每一個細節，
將無限次重演。
這是一個存在論問題。
不是數學問題。
Poincaré 說的是：
系統會回到接近先前狀態。
注意：
是
「接近」
不是
「完全相同」。
數學上：
x(t)\approx x(0)
不是：
x(t)=x(0)
因此：
Poincaré recurrence
≠
Nietzsche eternal recurrence
五、那麼宇宙會重演嗎？
這取決於宇宙是否符合定理假設。
Poincaré 定理要求：
- 封閉系統
- 能量守恆
- 有限相空間
現代宇宙可能不符合。
因為：
- 宇宙正在加速膨脹
- 暗能量存在
- 宇宙視界有限
- 黑洞蒸發
- 真空可能衰變
所以：
宇宙本身是否會 recurrence，
目前不知道。
許多宇宙學家認為：
我們的宇宙未必符合 Poincaré recurrence 的條件。
六、Boltzmann 的可怕推論
這裡出現另一個著名問題：
Ludwig Boltzmann
想到：
如果 recurrence 必然發生，
那麼：
極低機率事件也會發生。
例如：
混亂的宇宙中，
偶然形成：
- 一個人腦
- 帶著完整記憶
漂浮在虛空。
這稱為：
Boltzmann Brain
於是產生荒謬問題：
你是真正演化出來的人類？
還是剛剛由熱漲落產生的一顆大腦？
這成為現代宇宙學的重要悖論。
七、從德勒茲看：Recurrence 不是重複，而是差異
這裡有一個有趣轉折。
Gilles Deleuze
在《Difference and Repetition》裡認為：
真正的回歸，
不是同樣東西再次出現。
而是：
差異本身的回歸。
所以：
Poincaré recurrence
是：
狀態重返。
Nietzsche recurrence
是：
生命重返。
Deleuze recurrence
則是：
創造性的差異重返。
如果把它放到你最近一直談的 strange attractor
我反而覺得有個更有趣的連結。
Poincaré recurrence 並不是說：
你回到原點。
而是說：
軌跡在吸引盆地中無限漫遊，
並且一次又一次接近曾經經過的位置。
這很像你最近反覆提到的：
- Bashō 的路
- Sebald 的漫遊
- 菊次郎十六式
- follow the fragments
行路者不是繞一個圓。
而是在一個巨大的相空間裡漂流。
偶爾回到熟悉的風景。
但那個「你」已經不同。
因此從存在的角度看：
Poincaré recurrence 比較像：
不是永恆回歸（eternal recurrence），
而是永恆重逢（eternal re-encounter）。
你又回到了同一個地方。
但回來的人，
已經不是原來那個人了。
